L’Analisi matematica

Isaac Newton (1642-1727): il concetto di limite, e quindi il calcolo infinitesimale, è da attribuire a Newton, per dare risposta ai seguenti importanti problemi di tipo fisico-matematico:

a)   individuare le principali caratteristiche (massimi, minimi, flessi, asintoti) del diagramma di una funzione e, soprattutto, determinare l’equazione della retta tangente a una curva in  un suo punto (calcolo differenziale);

b)  calcolare l’area di una superficie, il volume di un solido, la lunghezza di un arco di curva (calcolo integrale);

c)   studiare il moto di un corpo, scoprendone le caratteristiche principali: traiettoria, velocità, accelerazione (problemi di cinematica).

 

Gottfried Leibniz (1646-1716): risolve gli stessi fondamentali problemi, ma spinto da esigenze contrapposte a quelle di Newton e senza conoscere i lavori di quest’ultimo, in quanto scaturite da considerazioni di carattere essenzialmente filosofico riguardanti l’infinito.

A Leibniz va attribuito il merito di aver elaborato una simbologia chiara, sistematica ed efficiente ; al contrario di Newton, Leibniz non si riferisce soltanto a quantità variabili in funzione del tempo e ritiene opportuno evidenziare nella notazione della derivata anche la variabile indipendente (dy/dx).

Così per l’integrale utilizza dapprima Sy e poi Sydx e calcola l’integrale definito sommando tutti i rettangoli bidimensionali di base infinitesima dx ed altezza f(x) ; il simbolo leibniziano di integrale deriva dalla lettera S, iniziale di somma.

 

 

         “Il calcolo infinitesimale venne creato soprattutto per trattare i principali problemi del secolo XVII, anche se, in una certa misura, forniva una risposta a problemi che erano stati già affrontati dai Greci” (M. Kline, 1972).

         “Chi volesse risalire alle origini dei metodi infinitesimali dovrebbe arrivare a quel periodo della filosofia greca, ove si sono gettate le basi logiche della geometria, verso il 400 a.C.” (Guido Castelnuovo, 1938).

         “I greci non possedettero né immaginarono niente di simile (il calcolo infinitesimale) … tuttavia è nell’ambito dell’invenzione geometrica che si sviluppa la loro creazione matematica forse più geniale : il metodo per trattare quei problemi che per noi competono al calcolo integrale. Eudosso, trattando del volume del cono e della piramide, ne aveva dato i primi modelli che Euclide ci ha più o meno tramandato” (Nicolas Bourbaki, 1963).

 

         E’ necessario, infatti, ricordare il metodo di esaustione, unanimemente ricondotto all’opera di Eudosso di Cnido (408 ?-355 ? a.C.). Le opere di Eudosso sono andate perdute e l’attribuzione al filosofo di Cnido di risultati è sempre indiretta : a lui, infatti, Euclide attribuisce la dimostrazione per esaustione del fatto che il volume di un cono rotondo è un terzo del volume del cilindro con la stessa base e la stessa altezza (è inclusa come Proposizione X nel libro XII degli Elementi).

Il metodo di esaustione è essenzialmente basato sul postulato di Eudosso, secondo il quale date due grandezze qualsiasi esiste una multipla della minore che supera la maggiore (per Euclide è una definizione Def. IV del libro V degli Elementi).

Il metodo di esaustione non ha mai un valore euristico, “non è un metodo analitico di ricerca che conduce ala scoperta, ma fornisce solo il mezzo per dimostrare (per assurdo) un risultato che si suppone già noto” (Castelnuovo). Individuata la tesi da provare, la dimostrazione rigorosa, per assurdo, viene condotta con il metodo di esaustione propriamente detto : l’applicazione di tale metodo è sempre abbinata ad una reductio ad absurdum” (Attilio Frajese, 1969).

          La ricerca di Archimede di Siracusa (287-212 a.C.) è considerata il punto culminante della storia dei procedimenti infinitesimali nell’antichità : egli calcola aree, volumi, baricentri con tecniche geniali e straordinariamente prossime al calcolo integrale. Ad esempio considera la figura piana costituita da fili pesanti paralleli (ed in ciò anticipa di diciotto secoli il metodo degli indivisibili), dei quali studia l’equilibrio.

Il ruolo fondamentale del metodo di esaustione è quello di garantire i risultati intuiti inizialmente con tali metodi empirici, ovvero di conferire il definitivo rigore alle loro dimostrazioni. Attraverso tale metodo, Archimede non giunge a un risultato, ma dimostra una tesi che deve essere già supposta, intuita mediante procedimenti diversi e meno rigorosi. “Come giunse egli … a conoscere già il risultato prima ancora di iniziare il complesso procedimento dimostrativo, è il mistero di Archimede” (Frajese).

 

         Al metodo di esaustione, quasi due millenni dopo gli studi archimedei, viene a sostituirsi il metodo degli indivisibili, nato dalle ricerche di un gruppo di matematici tra i quali : Johannes Kepler (1571-1630), Bonaventura Cavalieri (1598-1647), Gilles Personne de Roberval (1602-1675), Evangelista Torricelli (1608-1647).

La proposizione fondamentale del metodo degli indivisibili è il principio di Cavalieri : se due solidi sono compresi tra due piani paralleli e se le sezioni tagliate da piani paralleli alle basi ed ugualmente distanti da queste stanno sempre in un fissato rapporto, allora anche i volumi di tali solidi stanno in tale rapporto ; con  le attuali conoscenze ciò equivale a dire che due integrali definiti, tra gli stessi limiti di integrazione, aventi uguali funzioni integrande, sono uguali. “Verosimilmente questi principi sono stati suggeriti a Cavalieri da teoremi, quali quello di Eudosso sul rapporto dei volumi di piramidi aventi la stessa altezza” (Bourbaki).

Cavalieri conosce il metodo di esaustione ma ritiene il proprio metodo degli indivisibili superiore ad esso. Il metodo di esaustione fa infatti uso essenziale della dimostrazione per assurdo, mentre il metodo degli indivisibili porta a realizzare delle dimostrazioni costruttive.

 

         Il periodo che porta alla definizione dei concetti dell’analisi infinitesimale è uno dei più vivaci e fecondi dell’intera storia della matematica : nella fondazione del calcolo sono coinvolte più scuole scientifiche (inglese, tedesca, francese, italiana) e culmina con le opere di Isaac Newton e Gottfried Leibniz.

L’impostazione newtoniana del calcolo infinitesimale supera in flessibilità e profondità quella della matematica greca e in particolare quella archimedea, eppure il nome del grande Siracusano ricorre con frequenza nelle opere di Newton e degli analisti del XVII secolo. La fondazione dell’analisi nel XVII secolo porta, infatti, ad una vera e propria rivoluzione rispetto all’impostazione ellenica : i metodi infinitesimali archimedei sono basati sull’intuizione della integrazione, nelle opere di Newton e Leibniz è invece la differenziazione ad essere considerata l’operazione analitica principale. “Se, infatti, per quanto concerne l’integrazione, un immenso campo di ricerca si apriva ai matematici greci, non solo per la teoria delle aree e dei volumi, ma anche per la statica e l’idrostatica, essi, mancando l’impulso dei problemi di cinematica, non ebbero l’occasione di affrontare seriamente la differenziazione” (Bourbaki).

L’Analisi matematicaultima modifica: 2009-03-18T23:58:51+01:00da gio-bocca
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