Euclide … ed oltre

Euclide

 

1.jpgVisse intorno al 300 a.C. ad Alessandria d’Egitto dove fondò una scuola di matematica. La sua grandezza non deriva tanto dall’originalità delle sue opere, ma soprattutto dalla capacità di aver organizzato tutto il sapere matematico del tempo in un’opera completa e sistematica, dotata di un’impalcatura logica e rigorosa: gli Elementi.

Gli Elementi di Euclide non sono soltanto la maggiore e più antica opera matematica greca che ci sia pervenuta, ma costituiscono anche il più autorevole manuale di matematica di tutti i tempi. L’opera, composta verso il 300 a.C., fu copiata e ricopiata ripetutamente, con l’introduzione di errori e variazioni: ad esempio Teone di Alessandria  (IV secolo d.C.) cercò di perfezionarne l’originale. Tuttavia, fu possibile farsi un’idea abbastanza precisa del contenuto della originale versione euclidea attraverso il confronto tra più copie manoscritte greche risalenti per lo più al periodo tra il  X e il XII secolo. In alcune edizioni compaiono anche un XIV e addirittura un XV libro, ma si tratta in entrambi i casi di opere apocrife. Copie degli Elementi sono arrivate fino a noi attraverso traduzioni arabe, che in seguito vennero tradotte in latino nel XII secolo e nel XVI secolo nelle varie lingue nazionali. La prima edizione a stampa uscì a Venezia nel 1482 e fu uno dei primi libri matematici stampati.

Gli Elementi di Euclide sono composti da 13 libri. I primi sei contengono le proposizioni fondamentali della geometria piana e la teoria generale delle proporzioni tra grandezze; i libri VII, VIII, IX trattano dei numeri e delle loro proprietà; il X dà in forma geometrica una classificazione dei numeri irrazionali; gli ultimi tre studiano la geometria solida. Si ritiene generalmente che il contenuto dei primi due libri sia in gran parte opera dei pitagorici. I libri III e IV trattano la geometria del cerchio e qui si presume che il materiale derivi in larga misura da Ippocrate di Chio. Fra i 13 libri degli Elementi, comunque, quelli che hanno suscitato l’ammirazione dei matematici sono il V e il X, l’uno concernente la teoria generale delle proporzioni e l’altro la classificazione degli incommensurabili. Si ritiene spesso, erroneamente, che gli Elementi si limitino a trattare argomenti di geometria, ma abbiamo già detto come il II e il V riguardano quasi esclusivamente l’algebra e il VII, VIII, IX sono dedicati alla teoria dei numeri (ovviamente naturali). Il libro VII si apre con due proposizioni che costituiscono una famosa regola della teoria dei numeri, oggi nota come algoritmo di Euclide per il calcolo del MCD di due numeri. Il libro IX contiene parecchi problemi che presentano un particolare interesse. Fra questi il più famoso è certamente la Proposizione 20: “i numeri primi sono più di una qualsiasi assegnata moltitudine di numeri primi”, in cui Euclide presenta la semplice ma geniale dimostrazione dell’infinità dei numeri primi.

 Teorema. Esistono quanti si vogliono numeri primi.

Infatti supponendo, per assurdo, che l’insieme P dei numeri primi sia finito e sia costituito ad esempio da P ={p1,p2,…,pn}. Consideriamo, allora, il numero a = p1* p2* * pn+1 ed osserviamo che sono possibili due casi:

1)      Il numero a è primo. Se questo avviene, essendo a maggiore di ciascun numero dell’insieme P, sarebbe un nuovo numero primo, contro l’ipotesi che i numeri primi sono soltanto quelli dell’insieme P.

2)      Il numero a è composto. In tal caso, per il Lemma che afferma che un numero naturale composto a ha almeno un divisore primo, allora a avrà un divisore primo, sia questo d. Ma, per l’ipotesi fatta, se d è un numero primo, dovrà coincidere con un elemento dell’insieme P, ad esempio sia d = p1. Pertanto, posto b = d* p2* * pn, anche la differenza a–b è divisibile per d e ciò è assurdo perché  a – b = p1* p2* * pn+1 – d* p2* * pn = 1 ed 1 non può essere divisibile per d, che essendo primo, è maggiore o uguale a 2. Dunque, d è un nuovo numero primo, distinto da ciascun elemento dell’insieme P.

 

In sostanza il teorema di Euclide ci consente di trovare nuovi numeri primi da un insieme di primi dati. Se l’insieme ad esempio è {2,3,5,7}, si ha a = 2* 3 * 5 * 7 +1 = 211 che è primo; se è, invece, {2,3,5,7,211}, si ha a = 2* 3 * 5 * 7 * 211 +1 = 44311, che è composto ma con divisori primi 73 e 607, non appartenenti all’insieme iniziale.

 

 

            Per dimostrare che un asserto di tipo matematico è vero occorre giustificarlo con una successione di ragionamenti logici che lo fanno discendere da altri asserti già ammessi veri (metodo assiomatico viene denominato il procedimento di “deduzione della verità”). Ma, questa situazione, nella quale la verità di ogni proposizione viene ottenuta tramite la mediazione della verità di altre proposizioni, porta però ad un processo di rinvio indefinito; ma se il processo di rinvio non ha termine non potremo mai sapere se una proposizione è vera oppure no. Risulta evidente allora che occorre disporre di un certo numero di proposizioni primitive accettate come vere, cioè di proposizioni la cui “verità” non richiede alcuna dimostrazione.

 

Ecco allora che abbiamo nell’opera di Euclide nel I libro un elenco di 23 DEFINIZIONI, che servono ad assegnare un significato ai termini e agli enti geometrici non noti che entrano in gioco nelle proposizioni e che non possono essere definiti. In realtà alcune definizioni non definiscono proprio nulla; infatti non c’è nessun elenco preliminare di elementi indefiniti, in termini dei quali si debbano definire gli altri elementi. Una definizione, invece, deve essere espressa in termini di concetti che vengono prima e che sono più noti delle cose definite.

 I.                    Punto è ciò che non ha parti

II.                 Linea è lunghezza senza larghezza

III.               Estremi di una linea sono punti

IV.               Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti

V.                 Superficie è ciò che ha soltanto larghezza e lunghezza

VI.               Estremi di una superficie sono linee

VII.            Superficie piana è quella che ugualmente rispetto alle sue rette

VIII.          Angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee su un piano, le quali si incontrino tra loro e non giacciono in

             linea retta

IX.               Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo si chiama rettilineo

X.                 Quando una retta innalzata su un’altra retta forma gli angoli adiacenti uguali tra loro, ciascuno dei due angoli

             uguali è retto, e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata

XI.               Angolo ottuso è quello maggiore di un retto

XII.            Angolo acuto è quello minore di un retto

XIII.          Termine è ciò che è estremo di qualche cosa

XIV.          Figura è ciò che è compreso tra due o più termini

XV.            Cerchio è una figura piana compresa da un’unica linea tale che tutte le rette, le quali cadano sulla linea a partire

             da un punto fra quelli che giacciono internamente alla figura, sono uguali tra loro

XVI.          Quel punto si chiama centro del cerchio

XVII.       Diametro del cerchio è una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del

            cerchio, la quale retta taglia anche il cerchio per metà

XVIII.     Semicerchio è figura compresa dal diametro e dalla circonferenza da esso tagliata. E centro del semicerchio è

            quello stesso che è anche centro del cerchio

XIX.          Figure rettilinee sono quelle comprese da rette, vale a dire: figure trilatere quelle comprese da tre rette,

           quadrilatere quelle comprese da quattro rette, e multilatere quelle comprese da più di quattro rette

XX.            Delle figure trilatere, è triangolo equilatero quello che ha i tre lati uguali, isoscele quello che ha soltanto due lati

            uguali e scaleno quello che ha i tre lati disuguali

XXI.          Infine, delle figure trilatere, è triangolo rettangolo quello che ha un angolo retto, ottusangolo quello che ha un

            angolo ottuso, ed acutangolo quello che ha i tre angoli acuti

XXII.       Delle figure quadrilatere, è quadrato quella che è insieme equilatera ed ha gli angoli retti, rettangolo quella che

             ha gli angoli retti ma non è equilatera, rombo quella che è equilatera ma non ha gli angoli retti, romboide quella

             che ha i lati e gli angoli opposti uguali tra loro ma non è equilatera né ha gli angoli retti. E le figure quadrilatere

            oltre a queste si chiamano trapezi. 

XXIII.     Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall’una e

           dall’altra parte, non si incontrano da nessuna delle due parti

 

Alle definizioni seguono i POSTULATI (atamhtia, il termine è la traduzione in latino di assioma, infatti postulare significa all’incirca chiedere insistentemente alcunché di ragionevole); tra questi enuncia il postulato delle parallele la cui negazione diede poi origine alle geometrie non euclidee. I postulati sono verità evidenti, caratteristici proprio della geometria.

 

Risulti postulato che:

  1. da qualsiasi punto si può condurre una retta ad ogni altro punto;
  2. ogni tratto di retta può essere prolungato per diritto indefinitamente;
  3. con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un cerchio;
  4. tutti gli angoli retti sono uguali tra loro;
  5. se una retta, incontrandone altre due, forma con esse angoli interni da una stessa parte la cui somma è minore di due retti, queste due rette, prolungate all’infinito, si incontrano dalla parte in cui giacciono tali angoli.
  6. Ed ancora le nozioni comuni o ASSIOMI (dal greco axìoma che significa all’incirca richiesta ragionevole). Questi sono, invece, verità di carattere generale, ovvero riguardano qualsiasi disciplina.

1)      le cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro;

2)      se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme ottenute sono uguali;

3)      se da cose uguali si tolgono cose uguali, le parti rimanenti sono uguali;

4)      se cose uguali sono aggiunte a cose disuguali, le somme ottenute sono disuguali;

5)      i doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro;

6)      le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro;

7)      cose che coincidono tra loro sono uguali;

8)      il tutto è maggiore della parte.

 

Da notare come sia gli assiomi sia i postulati sono proposizioni che si assumono come vere, senza alcuna dimostrazione. Aristotele aveva fatto una netta distinzione tra assiomi e postulati: i primi devono essere convincenti di per se stessi ed essere verità comuni a tutte le scienze; i secondi sono meno evidenti e non presuppongono l’assenso dell’allievo, poiché riguardano soltanto la disciplina in questione. Alcuni autori di epoca successiva usavano il termine assioma per indicare ciò che era noto o veniva accettato come evidente, e il termine postulato per fare riferimento a qualcosa che doveva, invece, essere “richiesto”. Oggi il termine assioma è utilizzato come sinonimo di postulato.

Segue, infine, una serie di TEOREMI, se ne contano ben 465. Uno dei più famosi teoremi attribuiti allo stesso Euclide stabilisce che in ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per base un lato uguale all’ipotenusa del triangolo iniziale e per altezza la proiezione del cateto sull’ipotenusa (noto come I teorema di Euclide). A questo famoso teorema, Euclide ne fece seguire un altro il quale, con dimostrazione pressappoco analoga, afferma che in ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa (noto come II teorema di Euclide).

 

Abbiamo detto come in una teoria ipotetico–deduttiva gli assiomi costituiscano i “sostegni” a cui “appendere” tutti i mezzi dimostrativi. Queste proposizioni, per le quali non è richiesto di dimostrarne la verità, possono venire accettate per due diversi motivi: o perché la loro verità è ritenuta a tutti evidente oppure perché sono state convenzionalmente scelte come punti di partenza della teoria. Nel primo caso il contenuto degli assiomi fa assumere ad essi un ruolo semantico; nel secondo caso il ruolo degli assiomi viene ad essere puramente sintattico. L’assiomatica classica (euclidea) si caratterizza per il fatto di porre l’evidenza come criterio di scelta degli assiomi. L’assiomatica moderna, invece, pone gli assiomi su un piano sintattico, proponendoli come “cominciamenti  formali” per iniziare il processo dimostrativo senza porsi quesiti relativi alla loro verità.

 

La scelta degli assiomi, potendo essi avere un ruolo puramente sintattico, è una scelta ampiamente “arbitraria“. Poiché l’obiettivo della matematica è quello di costruire teorie coerenti e corrette da un punto di vista formale, ma che abbiano però anche dei riscontri positivi nell’attività di descrizione, interpretazione e previsione dei fenomeni reali, occorre che gli assiomi vengano scelti con oculatezza, ossia occorre che abbiano un fondamento fisico, cioè che emergano come risultato da un insieme di esperienze spaziali comuni a tutti gli esseri umani.

Occorre che gli assiomi risultino “ben  fondati” nell’ambito di quell’aspetto del mondo che si vuole descrivere con la teoria geometrica che ci si accinge a formulare. Un tale discorso lascia sottintendere che possono esistere “più aspetti” della realtà che ci circonda e che pertanto possa risultare opportuno formulare “più geometrie” aventi alla base un diverso fondamento assiomatico.

Nella versione attuale della geometria euclidea, il V postulato è espresso in forma diversa (è detto postulato delle parallele, attribuibile a Proclo): data una retta ed un punto fuori di essa, per questo punto passa una  e una sola retta parallela alla retta data. Questo assioma ha un riscontro concreto nella nostra vita spaziale  quotidiana, ma lo avrebbe sempre, in ogni situazione?

 

Altre definizioni equivalenti del V postulato:

  • Due rette parallele formano con una trasversale angoli coniugati interni supplementari (Tolomeo)
  • Due rette complanari equidistanti sono parallele (Posidonio)

 

Euclide in qualche maniera è “costretto” ad introdurre il V postulato (che è alla base di alcuni teoremi fondamentali); infatti, dopo aver definito parallele “le rette nello stesso piano che, prolungate indefinitamente da una parte e dall’altra, non si incontrano da nessuna parte“, dimostra (nel I libro, proposizioni 27 e 28) che due tali rette, tagliate da una trasversale, formano angoli alterni interni uguali e angoli corrispondenti uguali. Per dimostrare poi le inverse di queste due proposizioni, Euclide ricorre per la prima volta all’uso del postulato delle parallele: se una retta, incontrandone altre due, forma con esse angoli interni da una stessa parte la cui somma è minore di due retti, queste due rette, prolungate all’infinito, si incontrano dalla parte in cui giacciono tali angoli. Si tratta di un enunciato che non ha certo il carattere di evidenza immediata degli altri postulati euclidei, che stabiliscono fatti intuitivi come l’uguaglianza fra loro di angoli retti o la possibilità di costruzioni elementari, come “tracciare una retta da un punto qualunque a un punto qualunque” o “costruire un cerchio di dato centro e di dato raggio“. Ecco perché, fin dall’antichità classica, come ci testimonia Proclo (410–485 d.C.) nel suo Commento al I libro di Euclide, i matematici cercarono invano di dimostrare quel postulato sulla base di un enunciato di natura più evidente. Quei tentativi continuarono anche in epoca moderna, fino a tutto il Settecento. Comune ad essi, comunque, è l’assunzione di un postulato che si rivela sempre equivalente a quello euclideo, si pensi ad esempio agli innumerevole e vani sforzi del gesuita Giovanni Girolamo Saccheri (1677-1733). Nell’Euclides ab omni naevo vindicatus (1733), assumendo i primi quattro postulati euclidei e le prime 28 proposizioni degli Elementi – che sono indipendenti dal postulato delle parallele – Saccheri non riesce tuttavia a dimostrare il postulato euclideo, come erroneamente ritiene. Egli ottiene, invece, un buon numero di teoremi che lo fanno annoverare, suo malgrado, tra i precursori della geometria non euclidea di Lobacevskij. Il suo sforzo è ben presto dimenticato e D’Alembert può scrivere nell’Encyclopédie che “la definizione e le proprietà della retta, così come delle parallele sono lo scoglio e per così dire lo scandalo degli elementi della geometria”. Altrettanto vani sono i tentativi di Johann Heinrich Lambert (1728–1777), che si serve di ragionamenti analoghi a quelli di Saccheri, e di Adrien–Marie Legendre (1752–1833) che, all’oscuro dell’opera di Saccheri, cerca di dimostrare per assurdo che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due retti.

Fu solo nel XIX secolo, negli anni tra il 1830 e il 1860, a partire dai lavori di Janos Bolyai (1802–1860), Karl Friedrich Gauss (1777–1855), Nicolaj Ivanovic Lobaçevskij (1793–1856), Bernhard Riemann (1826–1866), che il problema trovò una soluzione definitiva.

 

  • La geometria euclidea è la geometria delle superfici a curvatura nulla, in essa vale l’assioma dell’esistenza e della unicità della parallela; la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto.

 

  • Nella geometria di Bolyai–Lobaçevskij si mostra come si possano costruire geometrie in cui non vale l’unicità: “per un punto P non appartenente ad una retta r si può condurre più di una parallela alla retta data“. La geometria iperbolica, è la geometria delle superfici a curvatura negativa, e per un punto esterno ad una retta vi sono più parallele; la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto.

2.jpgUn modello per tale geometria è quello fornito da Felix Klein (1849–1925): sia S il cerchio privato della circonferenza; i “punti” della geometria iperbolica sono i punti di tale cerchio, mentre le “rette” sono le corde della circonferenza (estremi esclusi).

Si vede immediatamente come nel modello costruito è vero l’assioma “per due punti passa una ed una sola retta“, in quanto vi è una ed una sola corda che unisce due punti interni di un cerchio. Non vale l’unicità della parallela, in quanto dati un punto interno a S e una corda non passante per il punto, vi sono infinite corde che passano per il punto e non incontrano la corda data. In figura sono tracciate le parallele m ed n ad r passanti per P le quali risultano gli elementi di separazione fra le secanti (quali a e b) e le iperparallele (quali s e t).

Interpretando opportunamente le relazioni di uguaglianza tra segmenti ed angoli, si possono dimostrare rigorosamente che tutti gli assiomi della geometria iperbolica sono veri nel modello. Quindi, se vi fosse una contraddizione nella geometria iperbolica, questa sarebbe dimostrabile a proposito degli enti del modello, ossia in definitiva sarebbe una contraddizione nella stessa geometria euclidea: se la geometria euclidea è coerente, allora lo è anche la geometria iperbolica.

Il modello di Klein, dal punto di vista didattico, presenta due difetti:

ü      Le rette sono interpretate in segmenti aperti (corde) di lunghezza (euclidea) finita variabile e minore del diametro; dato che le rette della geometria iperbolica sono tutte uguali fra loro e di lunghezza infinita, bisogna introdurre un’opportuna metrica che consenta di misurare in segmenti in modo che siano rispettate le relazioni della geometria iperbolica.

ü      Analogo discorso vale per gli angoli: ad esempio il triangolo PAB in figura coincide con un triangolo euclideo interno a S e, quindi, dato che la somma degli angoli deve essere minore di due retti, la misura degli angoli deve essere diversa da quella euclidea.

In sintesi nel modello di Klein non si vedono i segmenti e gli angoli uguali.

 

3.jpgNel modello di Jules Henrj Poincaré (1854–1912) viene eliminato il secondo difetto, interpretando le rette in maniera più complessa e realizzando una rappresentazione più simile a quella delle figure precedenti. Infatti, ora i punti sono ancora i punti del cerchio, interni alla circonferenza, mentre le rette sono i diametri di S e gli archi di circonferenza ortogonali a S. Nel modello di Poincaré le rette sono rappresentate da linee curve e gli angoli si misurano come nella geometria euclidea.

La geometria iperbolica, che si fonda sulla negazione del V postulato, è coerente, se lo è la geometria euclidea e questo non è mai stato messo in dubbio! Pertanto, il V postulato è indimostrabile nella geometria assoluta: se il V postulato fosse dimostrabile non potrebbe esistere un modello, come quelli di Klein e Poincaré, in cui sono veri gli assiomi della geometria assoluta e il V postulato è falso. 

 

  • Nella costruzione geometrica proposta da Riemann non vale l’esistenza: “per un punto P non appartenente ad una retta r non si può condurre alcuna parallela alla retta data“, ovvero “tutte le coppie di rette si intersecano“. La geometria sferica o ellittica, è la geometria delle superfici a curvatura positiva, caratterizzata dal cosiddetto assioma di Riemann, in base al quale “non esistono rette parallele“, in essa la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di un angolo piatto. 

 

4.jpgNel modello di Riemann della geometria sferica, come enti primitivi consideriamo il piano costituito da tutti i “punti” di una qualunque superficie sferica. Il “punto” P è costituito da una coppia di punti simmetrici della sfera rispetto al centro ed appartenenti alla superficie sferica; la “retta” r è la circonferenza di raggio massimo. In queste condizioni data la retta r ed un punto P esterno ad essa non si può trovare nessuna retta r’ passante per P e parallela ad r.

  

Supponiamo di agire rimanendo sopra la superficie sferica considerata. Siano R e Q due suoi punti qualsiasi, il tragitto più breve possibile, ovvero la linea di minima distanza che li congiunge è l’arco di circonferenza massima ottenuta intersecando la sfera col piano passante per R, Q e per il centro O della sfera. Questi archi di circonferenza hanno il ruolo dei segmenti della geometria euclidea per gli abitanti della superficie. Ad esempio PQR è un triangolo, i cui lati sono archi di circonferenze massime. Nella figura a lato è evidente come la somma degli angoli del triangolo PQR sia maggiore di due retti (in quanto, appunto, già retti gli angoli in Q ed R). Si noti anche che, contrariamente a quanto avviene in geometria euclidea, le due perpendicolari alla retta r in Q ed R si intersecano in P.

Ora le rette circonferenze massime, a differenza delle rette euclidee sono linee chiuse e per due punti estremi di un diametro passano infinite rette (per due punti diametralmente opposti come i poli passano infiniti meridiani). La prima proprietà viola l’infinità della retta e il fatto che la retta euclidea è una linea aperta; la seconda va contro uno degli assiomi fondamentali della geometria di Euclide, quello per cui “per due punti distinti passa una ed una sola retta“. Pertanto, lasciando cadere gli assiomi euclidei che non sono soddisfatti e sostituendoli opportunamente, si ottiene la geometria sferica, di cui la superficie della sfera è un modello.

Alcuni esempi di teoremi validi per la geometria sferica: “tutte le rette hanno la stessa lunghezza finita“, “il piano ha area finita“, “tutte le perpendicolari ad una stessa retta si incontrano in due punti“, “la somma degli angoli di un triangolo è maggiore di due retti“, …

Così come per la geometria iperbolica si può dire, con una interpretazione più immediata, che “in zone piccole del piano sferico vale la geometria euclidea“, ovvero si può dire che una piccola porzione di sfera non è distinguibile da un piano … ed ancora, ai criteri di uguaglianza dei triedri corrispondono altrettanti criteri di uguaglianza fra i triangoli sferici, tra cui, come per la geometria iperbolica “se due triangoli hanno uguali gli angoli, allora sono uguali“, … In definitiva possiamo dire che la geometria sferica corrisponde alla geometria euclidea sulla sfera!

Nella geometria ellittica si vuole conservare l’assioma euclideo secondo cui “per due punti distinti passa una ed una sola retta“. Per fare ciò riduciamo la sfera ad una semisfera, eliminando i punti diametralmente opposti a quelli della semisfera. Rimangono, però, i punti diametralmente opposti sulla circonferenza G che delimita la semisfera; questi li eliminiamo imponendo che i punti diametralmente opposti di tale circonferenza coincidano in un unico punto, siano in sostanza lo stesso punto. 

È facile capire come, dati due punti distinti C e D della semisfera, per essi passa una ed una sola retta r, ossia una ed una sola semicirconferenza massima; ciò avviene anche se uno dei due punti sta sulla circonferenza G o se entrambi stanno sulla circonferenza G, in quest’ultimo caso la retta è proprio la circonferenza G.5.jpg

Come per la geometria sferica, è ancora soddisfatto l’assioma di Riemann, con la nota che ora due rette si incontrano sempre in uno e un solo punto, mentre sulla sfera due rette si incontrano sempre in due punti. Le rette sono linee chiuse: se, ad esempio, si percorre la retta r da C a D e si prosegue fino a raggiungere G in A, ci si trova nello stesso punto diametralmente opposto e si può, quindi, continuare a percorrere r tornando in C (vedi figura).

Valgono tutti i teoremi della geometria sferica che non coinvolgono punti diametralmente opposti, ad esempio: “tutte le rette hanno la stessa lunghezza finita“, “il piano ha area finita“, “la somma degli angoli di un triangolo è maggiore di due retti“, “in zone piccole del piano ellittico vale la geometria euclidea“, “i segmenti hanno un’unità di misura naturale“, … Non vale quello relativo alle perpendicolari ad una stessa retta, che va così riformulato: “tutte le perpendicolari ad una stessa retta si incontrano in un punto“.

Abbiamo costruito, così, una geometria coerente in cui non esistono rette parallele e i triangoli hanno somma degli angoli superiore a due retti.

Ricordiamo, inoltre, che se una teoria ha un modello, ogni teorema della teoria è vero nel modello. Nel modello di Riemann come in quello di Klein valgono il i primi quattro postulati, se per assurdo dico che il quinto si ricava dai primi quattro questo deve valere anche nel modello di Riemann e di Klein. In questi termini la geometria di Euclide appare contraddittoria poiché nei modelli descritti valgono contemporaneamente le condizioni logiche V (vero) e F (falso), circa il quinto postulato.

Se vogliamo che la geometria di Euclide non sia contraddittoria, il V postulato non si può pensare dipendente dai primi quattro (esaustione).

 

 

La scoperta dei modelli di Klein e di Riemann portarono, tra l’altro, ai seguenti mutamenti nel pensiero matematico:

ü      fu risolto il problema millenario delle parallele;

ü      furono scoperte le geometrie non euclidee;

ü      si passò dal concetto classico di assioma pensato come “relazione o proprietà evidente” al principio di non contraddittorietà.

 

Non vi è più una sola geometria, ma più geometrie la cui adeguatezza va ricercata nella propria coerenza logica interna più che nella capacità di descrivere la realtà fisica. Questioni quali la non contraddittorietà degli assiomi, la loro indipendenza, la possibilità di implementare modelli, si trovano al centro della ricerca matematica moderna.

Euclide … ed oltreultima modifica: 2009-03-25T23:47:00+01:00da gio-bocca
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