Insiemi

Finalità ed  Obiettivi

  

1a FASE

Viene introdotto il concetto di insieme con relative rappresentazioni; vengono definiti poi il sottoinsieme, l’insieme complementare e l’insieme universo, l’insieme  delle parti con relativa simbologia; il tutto coadiuvato da una serie di esempi e quesiti sia per chiarire i concetti stessi che per saggiare l’apprendimento generale e il livello di preparazione e conoscenza che la classe ha su tali argomenti.

 

2a  FASE

Vengono introdotte le operazioni insiemistiche di unione, intersezione, differenza e quindi svolte una serie di proposte di lavoro atte a far comprendere e quindi usare correttamente gli insiemi e le relative operazioni. È  un  lavoro di riepilogo di alcuni  argomenti già noti, ma che si rende indispensabile per realizzare una necessaria omogeneizzazione della classe, partendo dal lavoro svolto nella Scuola Media  inferiore, ed offre anche lo  spunto per avviare in modo nuovo lo studio. Infatti, lo svolgimento di questi  temi  consente,  sin dall’inizio,  l’appropriazione  da  parte  dello  studente  di  un linguaggio rigoroso  particolarmente ricco ed efficace.

 

La teoria degli insiemi è nata nel secolo scorso ad opera soprattutto di George Cantor (1845-1918). Gli studi di Cantor, Gauss, Galois, Hamilton e Boole aprirono una nuova via, sia alla sistemazione logica della matematica sia alla ricerca.

 

Il concetto di insieme permette di considerare degli oggetti collettivamente (per poi esaminare se tra di essi esistono delle relazioni, cioè delle leggi che associano oggetti ad altri oggetti). Stabilire delle relazioni tra gli oggetti appartenenti ad un insieme vuol dire capire come essi siano in qualche modo collegati tra loro, capire cioè se esiste un criterio logico per classificarli, ordinarli, catalogarli. Problema non lontano dal contare e dal misurare! Se si vogliono contare degli oggetti occorre possedere, prima di tutto, un criterio generale e sicuro per riconoscere gli oggetti stessi, per distinguerli l’uno dall’altro e  per classificarli: per contare dei cioccolatini occorre, ovviamente, sapere quali oggetti sono cioccolatini e quali no.

Ma non basta, oltre questo, molto importante è che gli oggetti siano disposti in ordine. Quindi raggruppare gli oggetti in base alle loro caratteristiche comuni, classificarli, ordinarli, stabilendo, tra due, quale è prima e quale è dopo. Pertanto viene data la definizione di prodotto cartesiano tra due insiemi, definita la relazione binaria come suo sottoinsieme e studiata una particolare relazione che è la funzione o applicazione o corrispondenza univoca. Vengono quindi dati vari modelli di rappresentazione delle relazioni, studiati tre tipi particolari di funzioni (iniettiva, suriettiva, biiettiva) e definite le proprietà delle relazioni per giungere alle fondamentali relazioni di equivalenza e di ordine.

Il tutto coadiuvato da esempi, domande ed esercizi per chiarire le definizioni e i concetti che vengono via via affrontati.

La teoria degli insiemi contribuisce ad un graduale approccio alla matematica e fornisce una visione unitaria delle varie parti che la compongono. Essa consente di generalizzare il concetto di operazione, spesso relegato solo all’ambito degli insiemi numerici, favorendo un ulteriore approccio al formalismo matematico. Lo studio delle relazioni (in particolare di ordine ed equivalenza) permette di stabilire dei legami fra gli elementi degli insiemi e può essere poi applicato anche ad argomenti di geometria, quindi utile ad evidenziare le connessioni tra i diversi campi della matematica, sottolineandone la sua unitarietà. Fondamentale per questo lo studio delle funzioni.

Le relazioni e le funzioni vengono trattate nei primi capitoli, perché ritenuti  concetti basilari per l’intera costruzione matematica. Introdotti fin dall’inizio, in maniera rigorosa ma semplice, saranno approfonditi in momenti successivi cosi da diventare l’asse portante dell’intera trattazione e fornire materiale per il lavoro interdisciplinare. Nella fase applicativa saranno curate le relazioni di uguaglianza, isometria, equiestensione, parallelismo, al fine di introdurre, induttivamente, alcuni concetti essenziali quali quelli di lunghezza, area, direzione.

Tra gli elementi degli insiemi (qualunque sia la loro natura) possono venire stabilite relazioni e definite operazioni come per i numeri ; gli insiemi possono venire combinati tra loro mediante particolari operazioni dando luogo a nuovi insiemi, abbiamo così l’algebra degli insiemi. Il poter applicare dei metodi algebrici allo studio di enti che non sono numeri, sottolinea la generalità che assumono molti concetti nella matematica moderna.

Insiemiultima modifica: 2009-03-25T23:21:00+01:00da gio-bocca
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